Question

如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：△OEF是等

如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：△OEF是等腰直角三角形．（2）若AE=4，CF=3，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠FOC+∠BOF=90°，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BEO和△CFO中，

∠ABO＝∠ACF OB＝OC ∠EOB＝∠FOC

，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）解∵△BEO≌△CFO（已证），
∴BE=CF=3，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB-BE=BC-CF，
即AE=BF=4，
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5．