Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，且侧棱和底面垂直．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）当ABC

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，且侧棱和底面垂直．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）当ABCD-A1B1C1D1为正方体时，求二面角C1-BD-C的正切值及及异面直线BC1与AC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（II）解：设BD与AC相交于O，连接C₁O．
∵CC₁⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴tan∠C₁OC=

CC1

OC

＝

2

．
连接A₁B，∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是异面直线BC₁与AC所成角．
∵三角形A₁C₁B是正三角形，∴∠A₁C₁B=60°．
∴二面角C₁-BD-C的正切值为

2

，
异面直线BC₁与AC所成角的大小为60°．