(2013?扬州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°

(2013?扬州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.(1)求证:AB⊥AE... (2013?扬州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.(1)求证:AB⊥AE;(2)若BC2=AD?AB,求证:四边形ADCE为正方形. 展开
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证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠B=∠BAC=45°,
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,
∴∠DCE=90°,CD=CE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中
BC=AC
∠BCD=∠ACE
CD=CE

∴△BCD≌△ACE,
∴∠B=∠CAE=45°,
∴∠BAE=45°+45°=90°,
∴AB⊥AE;

(2)∵BC2=AD?AB,
而BC=AC,
∴AC2=AD?AB,
∵∠DAC=∠CAB,
∴△DAC∽△CAB,
∴∠CDA=∠BCA=90°,
而∠DAE=90°,∠DCE=90°,
∴四边形ADCE为矩形,
∵CD=CE,
∴四边形ADCE为正方形.
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