Question

在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，（Ⅰ）若A、B、C成等差数列，且a、b、c成等比数列，

在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，（Ⅰ）若A、B、C成等差数列，且a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；（Ⅱ）若cosA、cosB、cosC成等比数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，若A、B、C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=π
所以B＝

π

3

…（2分）
因为a、b、c成等比数列，所以b²=ac…（4分）
故由a²+c²-2accosB=b²有a²+c²-2ac=0，所以a=c…（6分）
所以△ABC为等边三角形…（7分）
（Ⅱ）在△ABC中，因为cosA、cosB、cosC成等比数列
所以cos²B=cosA?cosC…（8分）
因为a、b、c成等比数列，所以b²=ac
由正弦定理有sin²B=sinA?sinC…（10分）
所以cosA?cosC+sinA?sinC=1即cos（A-C）=1…（11分）
所以A=C…（12分）
所以a=c，且b²=ac，所以a=c=b…（13分）
故△ABC为等边三角形…（14分）