Question

已知数列{an}的首项a1=3/5,an+1=(3an)/(2an+1),n=1,2……

是否存在互不相等的正整数m,s,n，使m,s,n成等差数列且am-1,as-1,an-1成等比数列？如果存在，请给出证明，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

不存在。
假设存在时：
因为a1=3/5,an+1=(3an)/(2an+1)
所以1/(an+1)=(2an+1)/(3an)=2/3+1/(3an)
设bn=1/an,则bn+1=2/3+1/3*bn
设(bn+1)+x=1/3*((bn)+x)
化简得：bn+1=1/3*bn-2/3*x
所以-2/3*x=2/3,x=-1
所以(bn+1)-1=1/3*((bn)-1)
所以((bn+1)-1)/((bn)-1)=1/3
因为b1-1=1/a1-1=5/3-1=2/3
所以{bn}成等比数列，其首项是2/3，公比是1/3
所以bn=2/3*(1/3)^(n-1)=2*(1/3)^n=1/an
所以an=1/2*3^n
因为m,s,n成等差数列
所以2s=m+n
所以(as-1)*(as-1)=(am-1)(an-1)
将上式转化得：(3/2)^[0.5(m+n)-1]=(3/2)^(m+n-2)
所以0.5(m+n)-1=m+n-2，0.5(m+n)=1,m+n=2
因为n,m都是整数
所以只能是m=n=1
又因为此与题设条件m≠n不符

所以不存在。

若有不明，欢迎追问。

Answer 2

用反证法。