Question

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．

（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C相交于A，B两点，P（1，2），设直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．

Answer 1

曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1
∴
曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等
∴曲线C是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线,p=2
∴曲线C的方程为y²=4x
2
l：y=-x+b与y²=4x联立消去y得
（-x+b)²=4x
x²-2(b+2)x+b²=0
Δ=4(b+2)²-4b²>0 b>-1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=2(b+2),x1x2=b²
∴k1=(y1-2)/(x1-1),k2=(x2-2)/(x2-1)
∵y1=-x1+b,y2=-x2+b
∴k1+k2=[(x1-1)(y2-2)+(x2-1)(y1-2)]/[(x1-1)(x2-1)]
=(x1y2-2x1-y2+2+x2y1-y1-2x2+2)/(x1x2-x1-x2+1)
=[x1(-x2+b)+x2(-x1+b)-2(x1+x2)+(x1+x2-2b)+4]/[x1x2-(x1+x2)+1]
=[-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2b+4]/[x1x2-(x1+x2)+1]
=[-2b²+2(b-1)(b+2)-2b+4]/[b²-2(b+2)+1]
=(-2b²+2b²+2b-4-2b+4)/[b²-2(b+2)+1]
=0
∴k1+k2为定值

Answer 2

曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1
由此可以得到：曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等——抛物线
∴曲线C是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线,p=2
∴曲线C的方程为y²=4x
2
l：y=-x+b与y²=4x联立消去y得
（-x+b)²=4x
x²-2(b+2)x+b²=0
Δ=4(b+2)²-4b²>0 b>-1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=2(b+2),x1x2=b²
∴k1=(y1-2)/(x1-1),k2=(x2-2)/(x2-1)
∵y1=-x1+b,y2=-x2+b
∴k1+k2=[(x1-1)(y2-2)+(x2-1)(y1-2)]/[(x1-1)(x2-1)]
=(x1y2-2x1-y2+2+x2y1-y1-2x2+2)/(x1x2-x1-x2+1)
=[x1(-x2+b)+x2(-x1+b)-2(x1+x2)+(x1+x2-2b)+4]/[x1x2-(x1+x2)+1]
=[-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2b+4]/[x1x2-(x1+x2)+1]
=[-2b²+2(b-1)(b+2)-2b+4]/[b²-2(b+2)+1]
=(-2b²+2b²+2b-4-2b+4)/[b²-2(b+2)+1]
=0
∴k1+k2为定值

Answer 3

1 注意一下圆锥曲线的统一定义，它的话就是M到F的距离和它到X=-1的距离相等，就是抛物线：y^2=4x
2 P在曲线C上，当b=0时，A(0,0),B(4,-4), k1+k2=0
接下来证明k1+k2=0就可以了，设A（x1.y1),B(x2,y2)
联立直线l与曲线C慢慢算，不算也行，k1+k2=（y1-2)/(x1-1)+(y2-2)/(x2-1),再随便写写，最后结果让它等于0就行，反正是证明题，不需要技巧

Answer 4

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