Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 2 = 3 2 ，2S n+1 =3S n +2（n∈N * ）．（1）证明数列{a

已知数列{a n }的前n项和为S n ，a 2 = 3 2 ，2S n+1 =3S n +2（n∈N * ）．（1）证明数列{a n }为等比数列，并求出通项公式；（2）设数列{b n }的通项b n = 1 a n ，求数列{b n }的前n项的和T n ；（3）求满足不等式3T n ＞S n （n∈N + ）的n的值．

Answer 1

（1）由2S n+1 =3S n +2得到，2S n =3S n-1 +2（n≥2） 则2a n+1 =3a n （n≥2）， 又a 2 = 3 2 ，2S 2 =3S 1 +2，∴ a 1 =1， a 2 a 1 = 3 2 则 a n+1 a n = 3 2 (n∈ N * ) 故数列{a n }为等比数列，且 a n =( 3 2 ) n-1 （2）由（1）知， a n = ( 3 2 ) n-1 ，又由数列{b n }的通项b n = 1 a n ，则 b n = ( 2 3 ) n-1 故 T n = 1-( 2 3 ) n 1- 2 3 = 3[1-( 2 3 ) n ] （3）由（1）知， a n = ( 3 2 ) n-1 ，则 S n = 1- ( 3 2 ) n 1- 3 2 = 2[( 3 2 ) n -1] 由（2）知， T n =3[1- ( 2 3 ) n ] 则3T n ＞S n （n∈N + ）? 9[1- ( 2 3 ) n ]＞2[ ( 3 2 ) n -1] ， 令 t= ( 3 2 ) n （t＞1），则 9(1- 1 t )＞2(t-1) ， 解得 1＜t＜ 9 2 ，即 1＜( 3 2 ) n ＜ 9 2 又由 f(x)=( 3 2 ) x 在R上为增函数， ( 3 2 ) 3 = 9 2 × 3 4 ， ( 3 2 ) 4 = 9 2 × 9 8 ， 故n=1，2，3