Question

设A为n阶方阵，且A2=E（其中E为n阶单位矩阵），则（　　）A．|A|=1B．A的特征值都是1C．A的秩为nD．A一定

设A为n阶方阵，且A2=E（其中E为n阶单位矩阵），则（　　）A．|A|=1B．A的特征值都是1C．A的秩为nD．A一定是对称矩阵

Answer 1

由于A²=E（其中E为n阶单位矩阵），
|A²|=|A||A|=E
故：|A|=±1，选项（A）错误，
A²=E，故有：（A+E）（A-E）=0，所以特征值为±1，故选项（B）不正确，
|A|=±1，故A的秩为n，故（C）正确，
选项（D）由已知条件推不出，故不正确，
故选择：C．