已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(Ⅰ)求函数f(x)+g(x)的定义域

已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(Ⅰ)求函数f(x)+g(x)的定义域;(Ⅱ)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,... 已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(Ⅰ)求函数f(x)+g(x)的定义域;(Ⅱ)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并说明理由;(Ⅲ)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合. 展开
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ballance150pP
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(Ⅰ)由题意可得函数f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x)=loga(x+1)(1-x),
x+1>0
1?x>0
解得-1<x<1,故函数的定义域为(-1,1).
(Ⅱ)由于函数f(x)+g(x)=loga(x+1)(1-x)的定义域关于原点对称,
且满足f(-x)+g(-x)=loga(-x+1)(1+x)=f(x)+g(x),
故f(x)+g(x)为偶函数.
(Ⅲ)f(x)+g(x)<0 等价于loga(-x+1)(1+x)<0.
当a>1时,f(x)+g(x)<0,等价于 0<(-x+1)(1+x)<1,
等价于
(?x+1)(1+x)<1
(?x+1)(1+x)>0
,解得-1<x<0,或 0<x<1,
即使f(x)+g(x)<0成立的x的集合为(-1,0)∪(0,1).
当 0<a<1时,f(x)+g(x)<0 等价于(-x+1)(1+x)>1,
化简可得x2<0,故x不存在,
即使f(x)+g(x)<0成立的x的集合为?.
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