Question

如图在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，CE平分∠BCD，AE=BE．求证：（1）DE⊥EC；（2）DE平分∠CDA；（3）DC

如图在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，CE平分∠BCD，AE=BE．求证：（1）DE⊥EC；（2）DE平分∠CDA；（3）DC=AD+BC；（4）S梯形ABCD=DE?EC．

Answer 1

解答：证明：（1）作EF⊥CD于F，
∴∠EFC=∠EFD=90°．
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE．
∵∠A=∠B=90°，
∴∠EFC=∠EFD=∠A=∠B=90°．
在△CEB和△CEF中，

∠B＝∠EFC ∠BCE＝∠FCE EC＝EC

，
∴△CEB≌△CEF（AAS），
∴BE=FE，BC=FC．∠CEB=∠CEF．
∵AE=BE，
∴AE=FE．
在Rt△AED和Rt△FED中，

ED＝ED AE＝FE

，
∴Rt△AED≌Rt△FED（HL），
∴∠AED=∠FED，AD=FD．
∵∠CEB+∠CEF+∠AED+∠FED=180°，
∴2∠CEF+2∠DEF=180°，
∴∠CEF+∠DEF=90°，
即∠DEC=90°．
∴DE⊥CE；
（2）∵△AED≌△FED，
∴∠AED=∠FED，
∴DE平分∠CDA；
（3）∵BC=FC，AD=FD，
∴BC+AD=FC+FD，
∴DC=AD+BC
（4）∵△CEB≌△CEF，△AED≌△FED，
∴S_△CEB=S_△CEF，S_△AED=S_△FED．
∴S梯形ABCD=2S_△DEF+2S_△CEF=2（S_△DEF+S_△CEF）=2S_△DEC．
∵S_△DEC=

DE?CE

2

，
∴2S_△DEC=DE?CE，
∴S_梯形ABCD=DE?EC．