Question

已知a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2=a+b+c=1,则abc=?

Answer 1

a+b+c=1,
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1
a^2+b^2+c^2=2,
ab+bc+ca=-0.5

a^3+b^3+c^3=3
1-a^3+1-b^3+1-c^3=0
(1-a)(1+a+a^2)+(1-b)(1+b+b^2)+(1-c)(1+c+c^2)=0
(b+c)(1+a+a^2)+(c+a)(1+b+b^2)+(a+b)(1+c+c^2)=0
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(a+b)+ca(c+a)+bc(b+c)=0
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+ab(1-c)+ca(1-b)+bc(1-a)=0
2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+(ab+ca+bc)-3abc=0
代入数值得
2*1+2*(-0.5)-0.5-3abc=0
abc=1/6

Answer 2

(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1
ab+bc+ca=0

(a+b+c)^3=1
a^3+b^3+c^3+3a^2b+3b^2a+3(a+b)^2c+3(a+b)c^2=1
1+3(a^2b+b^2a+a^2c+b^2c+ac^2+bc^2)+6abc=1
3[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]+6abc=0
b+c=1-a c+a=1-b a+b=1-c
3[a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3]=-6abc
3(1-1)=-6abc
abc=0
a

Answer 3

ab+bc+ca=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]/2=0,
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),
∴1-3abc=1,
∴abc=0.

Answer 4

（a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
=1
得：ab+ac+bc=-1/2；
(a+b+c)³
=a³+b³+c³+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
=1
得：abc=1/6；