Question

在数列an中，a1=1,an+1=(1+1/n)an+n+1/2^n

1.设bn=an/n,求数列bn的通项公式
2.求数列an的前n项和Sn

Answer 1

1.
a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n

a(n+1)=[(n+1)/n]an+(n+1)/2^n

两边同除(n+1)得：a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n

b1=a1/1=1

b(n+1)-bn=1/2^n

n>=2时

b2-b1=1/2
b3-b2=1/2^2
……
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)

把以上n-1个等式相加：bn-b1=bn-1=1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)=1-1/2^(n-1)

bn=2-1/2^(n-1)，b1=1也适合此式。

所以，数列{bn}的通项公式为：bn=2-1/2^(n-1)，n为正整数。

2.
bn=an/n=2-1/2^(n-1)

an=2n-n/2^(n-1)

Sn=2-1/2^0+4-2/2+6-3/2^2+…+2n-n/2^(n-1)

=(2+4+6+…+2n)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]

=n(n+1)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]

设Tn=1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1) (1)
(1/2)*(1)得：(1/2)Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+…+n/2^n (2)

(1)-(2)得：

(1/2)Tn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^(n-1)-n/2^n=2-1/2^(n-1)-n/2^n

Tn=4-1/2^(n-2)-2n/2^(n-2)=4-(2n+1)/2^(n-2)

Sn=n(n+1)-Tn=n(n+1)+(2n+1)/2^(n-2)-4，n为正整数。

.

追问

b(n+1)-bn=1/2^n怎么来的？

追答

题设：bn=an/n

a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n======》b(n+1)-bn=1/2^n

不能只是赞同，不采纳呀。