Question

如图，在 □ABCD 中，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 的延长线上，且∠ DAE =∠ F ． （1）求证：△ ABE

如图，在 □ABCD 中，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 的延长线上，且∠ DAE =∠ F ． （1）求证：△ ABE ∽△ ECF ；（2）若 AB =5， AD =8， BE =2，求 FC 的长．

Answer 1

（1）欲求△ABE∽△ECF ，由已知得到两三角形两个对应角相等，所以，两三角行相似（2）FC=

试题分析：由题意根据平行四边形的性质，可得到两个三角形的对应角相等，∴△ABE∽△ECF，再由相似比，得到所求的值。（1）证明：如图. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC . ∴∠ B =∠ ECF ，∠ DAE =∠ AEB ．……2分 又∵∠ DAE =∠ F ， ∴∠ AEB =∠ F . ∴△ ABE ∽△ ECF ．  ........................................................ 3分 （2）解：∵△ ABE ∽△ ECF ， ∴ .  ............................................................ 4分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC = AD =8. ∴ EC = BC BE =8 2="6." ∴ . ∴ .  ……………………………………………5分 点评：由平行四边形的性质得到对边平行，从而知角的相等，根据等量代换，由已知得到角相等，相似三角形两角相等即相似。两三角形相似对应边成比例，由已知列方程求之。本题属于基础题型。