Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值； （2）求f（x）的解析式；（3）已知a∈R，当0＜x＜12时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的实数a构成的集合记为A；又当x∈[-2，2]时，满足函数g（x）=f（x）-ax是单调函数的实数a构成的集合记为B，求A∩CRB（R为全集）．

Answer 1

（1）令x=-1，y=1，则
∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）
∴f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x²+x-2+3＜2x+a，即x²-x+1＜a，即(x?

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立
当0＜x＜

1

2

时，

3

4

＜x2?x+1＜1，所以a≥1．
故A={a|a≥1}
g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，
∴

a?1

2

≤?2或

a?1

2

≥2，解得a≤-3，或a≥5．
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，∴C_RB={a|-3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．