Question

如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在CD、AB边上，且点A、FC在以点E为圆心、EC为半径的圆上，连结CF，作EG

如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在CD、AB边上，且点A、FC在以点E为圆心、EC为半径的圆上，连结CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，设BC=x，AF=y．（1）求证：∠CAB=∠CEG；（2）求y与x的函数关系式，并求当点F是AB中点时x的值．（3）如图2，当x为何值时，点F是弧AC的中点？

Answer 1

解答：（1）证明：如图1，连接EF，
∵点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，
∴EF=EC，
∵EG⊥CF，
∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，
∴∠CAB=∠CEG；

（2）解：如图2，
连接EF、EA．设⊙E的半径为r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=

1

12

x²+3，
∵EF=EA，
∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-

1

6

x²+6，
所以y与x的函数关系式为：y=-

1

6

x²+6；
∵点F是AB的中点时，
∴AF=3，即y=3，
∴-

1

6

x²+6=3，
∴x=3

2

；

（3）解：如图2，当x=2

3

时，F是弧AC的中点．
理由如下：
∵点F是弧AC的中点，
∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，
∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=

1

2

CF=

1

2

AF=

1

3

AB=2，BC=2

3

，
∴x=2

3

时，F是弧AC的中点．