Question

一个由1至2010组成的数123456789101112...9899100101...2010除以

9的馀数是？

Answer 1

判断一个数除以9的余数，等于它所有数位上数字之和除以9的余数。
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为了排版方便，下面选取一个五位数来证明，任意多位数用10^n符号即可，方法一样。
abcde
=10000a+1000b+100c+10d+e
=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
注意到，9999a+999b+99c+9d是9的倍数，不影响除以9的余数。
证毕。

下面证明一个更为简单的方法。
判断一个数除以9的余数，可先将它任意分段，这个余数等于任意分段后所有段的数之和除以9的余数。
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证明：
我们仍然选取一个五位数，任意分段。不妨分为2、1、2。
abcde
=ab,c,de
=1000ab+100c+de
=999ab+99c+(ab+c+de)
注意到，999ab+99c是9的倍数，不影响除以9的余数。
其它分法也一样
证毕。

下面开始做题。
将1234……20092010作如下分段：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、……、2009、2010
于是
1+2+3+……+2010
=（1+2010）×2010÷2
=2011×1005
=2021055也就是说，1234……20092010÷9的余数等于2021055÷9的余数，
再次使用求和的方法：
2021055÷9的余数相当于
2+0+2+1+0+5+5=15除以9的余数，
而15÷9=1……6
因而答案即为6。

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