Question

如图（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm／s；点

如图（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm／s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连接PQ。若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），根据以上信息，解答下列问题：（1）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）设四边形PQCB的面积为y（cm 2 ），直接写出y与t之间的函数关系式；（3）在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB= =5， 由题意知：AP=5-t，AQ=2t， 当PQ∥BC，则△AQP∽ACB， ∴ ， ∴ ，t= ， ＜2， 当PQ⊥BC，则△APQ∽ACB， ∴ ， ∴ ， ∴t= ， ＜2， ∴当t= 或t= 时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似； （2）y= ； （3）若组成的四边形为菱形，则△APQ必为等腰三角形， ①当沿AP翻折时，AQ=PQ，过Q作QD⊥AP于点D，则点D必为AP的中点， ∴Rt△ADQ∽Rt△ACB， ∴ ， 即 ，解得t= ， ＜2， ②当沿PQ翻折时，AQ=AP，2t=5-t， 解得t= ＜2 ③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点， ∴Rt△AHP∽Rt△ACB， ∴ 即 ，解得：t= ＞2（不合题意应舍去） 综上所述，当 t= 或t= 时，所形成的四边形为菱形。