Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ π 2 ）的图象与y轴的交点为（0，1），

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ π 2 ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x 0 ，2）和（x 0 +2π，-2）．（1）求f（x）的解析式及x 0 的值；（2）若锐角θ满足 cosθ= 1 3 ，求f（4θ）的值．

Answer 1

（1）由题意可得： A=2， T 2 =2π ， 即 2π ω =4π ∴ ω= 1 2 ， f(x)=2sin( 1 2 x+φ) ，f（0）=2sinφ=1， 由 |φ|＜ π 2 ，∴ φ= π 6 ．（3分） f( x 0 )=2sin( 1 2 x 0 + π 6 )=2 ， 所以 1 2 x 0 + π 6 =2kπ+ π 2 ， x 0 =4kπ+ 2π 3 (k∈Z) ， 又∵x 0 是最小的正数，∴ x 0 = 2π 3 ；（7分） （2） f(4θ)=2sin(2θ+ π 6 )= 3 sin2θ+cos2θ ， ∵ θ∈(0， π 2 )，cosθ= 1 3 ，∴ sinθ= 2 2 3 ， ∴ cos2θ=2co s 2 θ-1=- 7 9 ，sin2θ=2sinθcosθ= 4 2 9 ， ∴ f(4θ)= 3 ? 4 2 9 - 7 9 = 4 6 9 - 7 9 ．（12分）