Question

已知函数f(x)＝13x3+ax2+2bx+c有两个极值点x1，x2且x1，x2满足-1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx-（a-1）y+3=0

已知函数f(x)＝13x3+ax2+2bx+c有两个极值点x1，x2且x1，x2满足-1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围是（　　）A．(?25，23)B．(?52，32)C．(?25，12)D．(?∞，?25)∪(23，+∞)

Answer 1

求导数可得：f'（x）=x²+2ax+2b∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，∴f'（x）有两个零点
∵-1＜x₁＜1＜x₂＜2，∴-1＜-a＜2，∴-2＜a＜1               ①
又f'（-1）=-2a+2b+1＞0，即2a-2b-1＜0，②
f'（1）=2a+2b+1＜0，③
f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0       ④
在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示
直线bx-（a-1）y+3=0的斜率k=

b

a?1

，表示可行域中动点M（a，b）与定点D（1，0）连线的斜率
由

2a+2b+1＝0 2a+b+2＝0

，可得

a＝? 3 2 b＝1

，此时与定点D（1，0）连线的斜率为

1?0

? 3 2 ?1

=-

2

5

由

2a?2b?1＝0 2a+b+2＝0

，可得

a＝? 1 2 b＝?1

，此时与定点D（1，0）连线的斜率为

?1?0

? 1 2 ?1

=

2

3

∴直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围是(?

2

5

，

2

3

)
故选A．