已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且...
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=12x2+nx+mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=f（x）在区间（13，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围．
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（1）f′（x）=
（x＞0），
当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45 °，
则f′（2）=1，即a=-2；
∴g（x）=
x2+nx+m（2-
），
∴g（x）=x+n+
=
∵g（x）在x=1处有极值，
故g′（1）=0，
从而可得n=-1-2m，
则g′（x）=
=
又∵g（x）仅在x=1处有极值，
∴x2-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
当m＞0时，由-2m＜0，
即?x0∈（0，+∞），
使得x02-2mx0-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）时，x2-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0；
（3）由f′（x）=
（x＞0）得（0，1）与（1，+∞）分别为f（x）的两个不同的单调区间，
∵f（x）在两点处的切线相互垂直，
∴这两个切点一定分别在两个不同单调区间内．
故可设存在的两点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），
其中
＜x1＜1＜x2＜3，
由该两点处的切线相互垂直，
得
-
=-1，
即：
=-
-
| a(1?x) |
| x |
当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45 °，
则f′（2）=1，即a=-2；
∴g（x）=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| x |
∴g（x）=x+n+
| 2m |
| x2 |
| x3+nx2+2m |
| x2 |
∵g（x）在x=1处有极值，
故g′（1）=0，
从而可得n=-1-2m，
则g′（x）=
| x3+nx2+2m |
| x2 |
| (x?1)(x2?2mx?2m) |
| x2 |
又∵g（x）仅在x=1处有极值，
∴x2-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
当m＞0时，由-2m＜0，
即?x0∈（0，+∞），
使得x02-2mx0-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）时，x2-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0；
（3）由f′（x）=
| a(1?x) |
| x |
∵f（x）在两点处的切线相互垂直，
∴这两个切点一定分别在两个不同单调区间内．
故可设存在的两点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），
其中
| 1 |
| 3 |
由该两点处的切线相互垂直，
得
| a(1?x1) |
| x1 |
| a(1?x2) |
| x2 |
即：
| 1?x1 |
| x1 |
| 1 |
| a2 |
| x2 | |
1?x2
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