Question

当x>1时,如何证明x>lnx以及x>ln(1+x)

最好用高数的
问题补充!:哪位高手可以告诉我,当一个函数的导数是个二次函数,如果△>0，则y'<0 为什么？也就是这一题http://zhidao.baidu.com/question/44664295.html
为什么△<0,就没有驻点和导数不存在点

Answer 1

考虑y=x,y=lnx,y=ln(1+x)
求导，分别为1，1/x，1/(1+x)
当x〉1时，y=x的斜率最大
当x=1时，y=x的值最大
所以x>lnx，x>ln(1+x)

补充：
一个函数的极值点存在于导数为零点或不存在点
y=x^3+ax^2+bx+c求导
y'=3x^2+2ax+b
这是一个二次函数，判别式为
4a^2-12b=4(a^2-3b)<0
所以原函数导数既无零点也无不存在点，没有极值

y'已经求出来，显然函数处处可导
二次函数判别式小于零那么就没有零点
就相当于一元二次方程判别式小于零无解一样

Answer 2

解：
（1）先证x>ln(1+x)。

设y(x)=x-ln(1+x),

则y'(x)=1-1/(1+x)。

当x>1时，y'(x)>0,即y(x)递增，

所以有y(x)>y(1)=1-ln2>0,

即x-ln(1+x)>0，从而x>ln(1+x)。

（2）再证x>lnx。

由lnx的性质知：

当x>1时，ln(1+x)>lnx，

又由（1）知，x>ln(1+x)，

所以x>lnx。

Answer 3

求到数么````
斜率(导数值)在X>1时大一些,那么x>lnx以及x>ln(1+x)

Answer 4

设函数y=x-㏑x,求导得y’=1-1/x
x>1,1-1/x>0即y= x-㏑x此时为增，当x=1是有最小值，y=1>0,得当x>1时，x-㏑x恒大于0，即x>㏑x.
设函数y=x-㏑(1+x), y’=1-1/(x+1),当x>1, y’>0, 即y= x-㏑(x+1)此时为增, 当x=1是有最小值,y=1-㏑2>0, 得当x>1时，x-㏑(x+1) 恒大于0，即x>㏑(1+x)

Answer 5

证明：此题用拉格朗日定理来证明。
在区间(x,x+1)对函数lnx运用拉格朗日定理，
ln(x+1)-lnx=1/ξ(x+1-x)=1/ξ
x<ξ
1/(1+x)
所以当：x>0时：ln(1+x)-lnx>1/(1+x)