当x>1时,如何证明x>lnx以及x>ln(1+x)
最好用高数的问题补充!:哪位高手可以告诉我,当一个函数的导数是个二次函数,如果△>0,则y'<0为什么?也就是这一题http://zhidao.baidu.com/que...
最好用高数的
问题补充!:哪位高手可以告诉我,当一个函数的导数是个二次函数,如果△>0,则y'<0 为什么?也就是这一题http://zhidao.baidu.com/question/44664295.html
为什么△<0,就没有驻点和导数不存在点 展开
问题补充!:哪位高手可以告诉我,当一个函数的导数是个二次函数,如果△>0,则y'<0 为什么?也就是这一题http://zhidao.baidu.com/question/44664295.html
为什么△<0,就没有驻点和导数不存在点 展开
5个回答
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考虑y=x,y=lnx,y=ln(1+x)
求导,分别为1,1/x,1/(1+x)
当x〉1时,y=x的斜率最大
当x=1时,y=x的值最大
所以x>lnx,x>ln(1+x)
补充:
一个函数的极值点存在于导数为零点或不存在点
y=x^3+ax^2+bx+c求导
y'=3x^2+2ax+b
这是一个二次函数,判别式为
4a^2-12b=4(a^2-3b)<0
所以原函数导数既无零点也无不存在点,没有极值
y'已经求出来,显然函数处处可导
二次函数判别式小于零那么就没有零点
就相当于一元二次方程判别式小于零无解一样
求导,分别为1,1/x,1/(1+x)
当x〉1时,y=x的斜率最大
当x=1时,y=x的值最大
所以x>lnx,x>ln(1+x)
补充:
一个函数的极值点存在于导数为零点或不存在点
y=x^3+ax^2+bx+c求导
y'=3x^2+2ax+b
这是一个二次函数,判别式为
4a^2-12b=4(a^2-3b)<0
所以原函数导数既无零点也无不存在点,没有极值
y'已经求出来,显然函数处处可导
二次函数判别式小于零那么就没有零点
就相当于一元二次方程判别式小于零无解一样
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解:
(1)先证x>ln(1+x)。
设y(x)=x-ln(1+x),
则y'(x)=1-1/(1+x)。
当x>1时,y'(x)>0,即y(x)递增,
所以有y(x)>y(1)=1-ln2>0,
即x-ln(1+x)>0,从而x>ln(1+x)。
(2)再证x>lnx。
由lnx的性质知:
当x>1时,ln(1+x)>lnx,
又由(1)知,x>ln(1+x),
所以x>lnx。
(1)先证x>ln(1+x)。
设y(x)=x-ln(1+x),
则y'(x)=1-1/(1+x)。
当x>1时,y'(x)>0,即y(x)递增,
所以有y(x)>y(1)=1-ln2>0,
即x-ln(1+x)>0,从而x>ln(1+x)。
(2)再证x>lnx。
由lnx的性质知:
当x>1时,ln(1+x)>lnx,
又由(1)知,x>ln(1+x),
所以x>lnx。
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求到数么````
斜率(导数值)在X>1时大一些,那么x>lnx以及x>ln(1+x)
斜率(导数值)在X>1时大一些,那么x>lnx以及x>ln(1+x)
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设函数y=x-㏑x,求导得y’=1-1/x
x>1,1-1/x>0即y= x-㏑x此时为增,当x=1是有最小值,y=1>0,得当x>1时,x-㏑x恒大于0,即x>㏑x.
设函数y=x-㏑(1+x), y’=1-1/(x+1),当x>1, y’>0, 即y= x-㏑(x+1)此时为增, 当x=1是有最小值,y=1-㏑2>0, 得当x>1时,x-㏑(x+1) 恒大于0,即x>㏑(1+x)
x>1,1-1/x>0即y= x-㏑x此时为增,当x=1是有最小值,y=1>0,得当x>1时,x-㏑x恒大于0,即x>㏑x.
设函数y=x-㏑(1+x), y’=1-1/(x+1),当x>1, y’>0, 即y= x-㏑(x+1)此时为增, 当x=1是有最小值,y=1-㏑2>0, 得当x>1时,x-㏑(x+1) 恒大于0,即x>㏑(1+x)
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证明:此题用拉格朗日定理来证明。
在区间(x,x+1)对函数lnx运用拉格朗日定理,
ln(x+1)-lnx=1/ξ(x+1-x)=1/ξ
x<ξ
1/(1+x)
所以当:x>0时:ln(1+x)-lnx>1/(1+x)
在区间(x,x+1)对函数lnx运用拉格朗日定理,
ln(x+1)-lnx=1/ξ(x+1-x)=1/ξ
x<ξ
1/(1+x)
所以当:x>0时:ln(1+x)-lnx>1/(1+x)
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