Question

函数f（x）=ax次幂+loga（x+1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，求a的值

Answer 1

假设a>1，此时a的x次幂单调递增，loga(x+1)也单调递增
所以最大值最小值分别在x=1和0处取得
f(x)max=a+loga(2)
f(x)min=1+0=1
依题1+a+loga（2）=a,则1+loga（2)=0,则loga（2）=-1，所以a=二分之一
结论与假设不一样，所以不成立
假设0<a<1，此时a的x次幂单调递减，loga(x+1)也单调递减
情况和上面一样，不过最大值最小值换一下
此时结论和假设一致，所以a=二分之一

Answer 2

ax次幂 和 loga（x+1）是同增同减的函数 要么在x=0时取最大值 在x=1时取最小值 要么在x=1时取最大值 在x=0时取最小值 其中 a不能等于1
a=f(0)+f(1)=1+a+loga(2) 所以a=1/2

Answer 3

两个都是单调增的函数，所以最小值在0，最大值在1
f(0)=1+0=1;f(1)=a+loga(2)
1+a+loga(2)=a
loga(2)=-1
a=1/2

Answer 4

f（x）=a^x+loga（x+1）
(1) 0<a<1
减函数
f（0）=1,
f（1）=a+loga（2）
1+a+loga（2）=a
1+loga（2）=0,
a=1/2
(2)a>1
增函数
f（0）=1,
f（1）=a+loga（2）
1+a+loga（2）=a
1+loga（2）=0,
无解