Question

三棱锥A-BCD中，对棱AD、BC所成的角为30°且AD=BC=a．截面EFGH是平行四边形，交AB、AC、CD、BD于E、F、G

三棱锥A-BCD中，对棱AD、BC所成的角为30°且AD=BC=a．截面EFGH是平行四边形，交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H，设 BE AB =t （1）求证：BC ∥ 平面EFGH；（2）求证：平行四边形EFGH的周长为定值；（3）设截面EFGH的面积为S，写出S与t的函数解析式，并求S的最大值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形∴EF ∥ GH 又∵EF?平面BCD，GH?平面BCD∴EF ∥ 平面BCD 又∵EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC ∴EF ∥ BC 又∵BC?平面EFGH，EF?平面EFGH∴BC ∥ 平面EFGH （2）由（1）可得BC ∥ HG，同理可证得：AD ∥ EH ∵EH ∥ AD∴ EH AD = BE AB =t ∴EH=at 又∵Ha ∥ BC∴ Ha BC = DH BD = AE AB =1-t ∴HG=a（1-t）∴周长λ=2（EH+HG）=（at+a-at）=2a=定值． （3）∵EH ∥ ADHG ∥ BC ∴∠EHG是AD与BC所成的角（设∠EHG为锐角）∴∠EHG=30° ∴S=EH×HG×sin30°= 1 2 ×at×a(1-t) = 1 2 a 2 t(1-t) ∴当t= 1 2 时，S 最大 = a 2 8 ．