Question

已知复数z=bi（b∈R）， z-2 1+i 是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z） 2

已知复数z=bi（b∈R）， z-2 1+i 是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z） 2 所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵z=bi（b∈R），∴ z-2 1+i = bi-2 1+i = (bi-2)(1-i) (1+i)(1-i) = (b-2)+(b+2)i 2 = b-2 2 + b+2 2 i ． 又∵ z-2 1+i 是实数，∴ b+2 2 =0 ， ∴b=-2，即z=-2i． （2）∵z=-2i，m∈R，∴（m+z） 2 =（m-2i） 2 =m 2 -4mi+4i 2 =（m 2 -4）-4mi， 又∵复数f（4）所表示的点在第一象限，∴ m 2 -4＞0 -4m＞0 ，…（10分） 解得m＜-2，即m∈（-∞，-2）时，复数f（4）所表示的点在第一象限．