Question

（2014?青羊区一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=8，BC=6，BE⊥DC交DC的延长线

（2014?青羊区一模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=8，BC=6，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；

（2）解：BE为⊙O的切线，
理由如下：
连接BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△ABC中，AC＝

AB2+BC2

＝

62+82

＝10，
∵BE⊥DC，
∴∠DEB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠ABC，
∵∠BAC=∠BDC，
∴△DEB∽△ABC，
∴

DE

AB

＝

BD

AC

，
∴

DE

8

＝

8

10

∴DE＝

32

5

．