Question

过点（1，3）且与曲线y=x3+2x相切的直线方程为______

过点（1，3）且与曲线y=x3+2x相切的直线方程为______．

Answer 1

设直线l：y-3=k（x-1）．∵y′=3x²+2，∴y′|_x=1=5，
又∵直线与曲线均过点（1，3），于是直线y-3=k（x-1）与曲线y=x³+2x相切于切点（1，3）时，k=5．
若直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=

y0?3

x0?1

，∵y₀=x₀³+2x₀，
∴

y0?3

x0?1

=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x＝x0=3x₀²+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²+2，∴2x₀²+3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=-

3

2

，∴k=x₀²-3x₀+2=

11

4

，
故直线l的方程为11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
故答案为：11x-4y+1=0或5x-y-2=0．