Question

求解高中数学

1.甲船在岛A的正南B处，以4kM/h的速度向正北航行，AB=10Km,同时乙船自岛A出发，以6KM/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲乙相距最近，他们所航行的时间为?
2.在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是什么三角形？

Answer 1

1.两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以B岛为顶点，角度是120度的三角形，设距离最近时航行时间为t（h）此时距离S，此时甲船到B岛距离为（10-4t）km，乙船距离B岛6t（km）。
S平方=28*t平方-20t+100
150/7min
2.sinC=2sin(B+C)cosB
C=pi-(A+B)
A=pi-(C+B)
则有:
sin（A+B）=2sinAcosB
则有:
sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
所以:
sinAcosB-coaAsinB=0
所以:
sin（A-B）=0
因为A,B,C是三角形的内角,所以
A=B
三角形ABC是等腰三角形

追问

C=pi-(A+B)
A=pi-(C+B)

pi是什么？

追答

是π

Answer 2

1、设航行时间为t
以A点位原点，正东方向为X轴正方向建立坐标系
则在t时刻甲的位置坐标为（0，-10+4t），乙的位置坐标为（6tsin60°，6tcos60°）
甲乙之间的距离为L=(（6tcos60°+10-4t）^2+（6tsin60°）^2)^0.5
=(28t^2-20t+100)^0.5
=(28(t-5/14)^2+675/7^0.5
可见t=5/14时距离最近
2、因为A+B+C=180°
所以 sinC=sinC(180°-A-B)=sin（A+B)
即 sin（A+B)=2sin（B+C)cosB
=2sin(180°-A）cosB
=2sinAcosB
即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
cosAsinB- sinAcosB=0
sin（B-A)=0
所以A=B
等边三角形

Answer 3

1设所用时间为X，甲乙距离为L，甲所在地为D点，乙所在地为E点，则AD=(10-4X)KM,AE=6X KM.
由余弦定理知：L^2=(10-4X)^2+(6X)^2-2*(10-4X)*6Xcos(30+90)=28(x-5/14) ^2 +675/7
所以当X=5/14时 距离最近为L= (675/7)^(1/2)=9.82 KM

2等腰三角形
sinc =2sinAcosB
sin(A+B)=2sinAcosB
sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
移项得 sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0
A=B
所以为等腰三角形

Answer 4