Question

如图所示,AB是圆O的直径,AB=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D，

如图所示,AB是圆O的直径,AB=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D,BD的延长线交AC于E，求AE的长

Answer 1

明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；
（2）设BF=x，AF/ BF =k，则AF=kx，BA= √（BF²-AF²) =x√( 1-k² )，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴HF ／AF =DE／ BE =AF／ BF =k，AH ／AF =BD ／BE =BA ／BF = √(1-k²) ，
而FE=BF-2HF=x-2k•AF=x-2k²x=（1-2k²）x，
∴c1=AF+HF+AH=k(1+k+ 1-k² )x，c2=BE+BD+DE=(1+ 1-k² +k)(1-2k²)x，c3=AF+BA+BF=(k+ 1-k² +1)x，
∴c1+c2 c3 =-2k²+k+1=-2(k-1 ／4 )²+9 ／8 ≤9 ／8 ，
故当k=1 ／4 时，AF ／BF =1／ 4 时取等号．

Answer 2