Question

求曲线y=3-|x^2-1|与x轴围成的封闭图形绕y=3旋转所得的旋转体的体积

这是个M字形的图形，书上面只分了（0，1）和（1，2）这2个区间，求出2个区间的体积然后相加乘以2。关键是在区间（0，1）中书中用的元素法，给出的定积分公式是
∫π[3²-(x²-1)²]dx(0到1积分上下限），我得出切好和他相反是∫π[3²-(1-x²)²]dx(0到1积分上下限），我按照这个∫π[3²-（3-（2+x²））²]dx（0到1）这个来算的，因为在（0，1）内函数y=2+x²，为什么书上和我写的过程是反的？还有这个元素法很难掌握啊，特别是这种不按照x和y轴旋转的旋转体的体积求法。

Answer 1

您和书上的没有差别，(x²-1)²=(1-x²)²。如果计算正确的话，结果会完全相同。∫π[3²-(1-x²)²]dx(0到1积分上下限）只用展开就很好计算了，不知您怎么又按∫π[3²-（3-（2+x²））²]dx（0到1）来算了？
元素法不难掌握，只要理解就很容易。关键是把图画好。旋转体的垂直于旋转轴的切面都是园，理清半径就容易解决了。结合图形，您一定能很好解决。助您成功，不可泄气。

追问

计算∫π[3²-(x²-1)²]dx(0到1积分上下限）和∫π[3²-(1-x²)²]dx(0到1积分上下限）这2个是相同的我知道，我不是说这个定积分算不出来，∫π[3²-（3-（2+x²））²]dx（0到1）这个是我自己按照元素法写出来的的一个式子和书上面元素法写出来的式子是个相反的 虽然最后结果一样，我就想问为什么用元素法2个式子会是相反的？

追答

考虑问题的角度不同，或者说假设不同。比如说过两点的向量的长度，起点、终点会有两种不同的选择，但无论如何选，结果总是一样的。不知你提的背景如何，但是两个的平方差，估计使用勾股定理，(x²-1)²与x²-1的正负无关，所以两个式子并无本质区别。但是，人们总习惯于取正，所以你取了(1-x²)²，但是这样取并不利于积分，稍不注意有可能出错，所以课本上采取前者。不知我说清没有。

追问

图形我补充出来了，2个平方差好像不是勾股定理，反正在（0，1）区间我元素法选取就是红色线区域，在（1，2）选取的就是蓝色区域，他们绕y=3旋转所得的就是圆柱形，用的是πR^2-πr^2 2个相减，我是这样的思路不晓得对不对。

追答

因为没看到图，甚至不支原题，所以没法表示意见。

追问

现在图片应该显示出来了吧

Answer 2

我做的跟你的一样的，但是在1到2上积分的时候就是∫π[3²-（3-（4-x²））²]dx=∫π[3²-(x²-1)²]dx，我觉得书上就是没管顺序，反正都取的平方

Answer 3

不知道

Answer 4

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