Question

Rt△ABC，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC与点E，点D是BC的中点，连接DE

①求证 DE与圆O相切
②若圆O的半径为 根号3 DE=3 求AE

Answer 1

1、证明：连接OD
∵AO＝EO
∴∠OAE＝∠OEA
∵AO＝BO，D是BC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC
∴∠BOD＝∠OAE，∠EOD＝∠OEA
∴∠BOD＝∠EOD
∵BO＝EO，DO＝DO
∴△BOD≌△EOD （SAS）
∴∠OED＝∠ABC
∵∠ABC＝90
∴∠OED＝90
∴DE与圆O相切于E
2、解
∵△BOD≌△EOD
∴BD＝DE＝3
∵OB＝√3
∴tan∠BOD＝BD/OB＝3/√3＝√3
∴∠BOD＝60
∵OD∥AC
∴∠BAC＝∠BOD＝60
∵AO＝EO
∴等边△AOE
∴AE＝AO＝√3

追问

第一问还有别的解法吗

我还是初中生第二问的解法理解不了，tan是什么，能给我换一种思路了

谢谢

追答

2、连接BE
∵△BOD≌△EOD
∴BD＝DE＝3
∴BC＝2BD＝6
∵AB＝2√3
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（12+36）＝4√3
∵直径AB
∴BE⊥AC
∴AB²-AE²＝BC²-CE²＝BE²
∴12-AE²＝36-（4√3-AE）²
∴解得AE＝√3

Answer 2

证明：
连接BD
∵AB是直径
∴∠ADB=90º【直径所对的圆周角是直角】
∴∠BDC=90º
∵E是BC的中点，则DE是Rt⊿BDC斜边的中线
∴DE=½BC=BE
连接OE
∵OB=OD，DE=BE，OE=OE
∴⊿OBE≌⊿ODE（SSS）
∴∠ODE=∠OBE（∠ABC）=90º
∴DE是圆O的切线【垂直于半径外端的直线是圆的切线】

Answer 3

（1）连接OE、OD、BE，OD与BE交于F点

因为OD是三角形ABC的中位线，则OD：AC=1/2，OD//AC

因为AB是圆O的直径，点E在圆O上，

所以角AEB为直角

又因为OD//AC

所以角OFB为直角，即OD与BE垂直

因为BE为圆O的一条弦，OD过圆O的圆心O

所以OD垂直平分BE

则BD=DE

因为D为BC的中点，所以BD：BC=1/2，即DE：BC=1/2

因为OE：AB=DE：BC=OD：AC=1/2

所以三角形OED与三角形ABC相似，

则角OED=角ABC=90度，即OE与ED垂直

所以 DE与圆O相切