Question

计算三重积分∫∫∫z^2dxdydz,其中积分区域是由椭球面x^2\a^2+y^2\b^2+z^2\c^2=1所围成的空间闭区域。

望用先计算一个二重积分再计算一个定积分的方法来做。谢谢！

Answer 1

可以用截面法解决。

空间区域可表示为{(x,y,z)|x^2/a^2+y^2/b^2<=1-z^2/c^2,-c<=z<=c}

作截面D是竖坐标为z的平面截空间区域所得到的平面闭区域

则∫∫∫z^2dxdydz=∫[-c,c]z^2dz∫∫[D]dxdy

=πab∫[-c,c](1-z^2/c^2)z^2dz

=(4πabc^3)/15

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

（2）先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

Answer 2

这个题就是同济《高等数学》第十章第三节三重积分的例2，
书上就是用先计算一个二重积分再计算一个定积分的方法来做的，
如果是同济第5版，就在下册P101。

Answer 3