Question

为什么多元函数即使所有偏导数都存在 仍可能不连续

Answer 1

因为偏导存在只能保证在几个方向上，函数改变量与自变量改变量比的极限，在自变量趋近于0时存在，从而只能推出在这几个方向上自变量改变无穷小时，函数的改变量也无穷小。

但是不能推出在任何方向上自变量改变无穷小时，函数的改变量也无穷小。所以即使所有偏导数都存在仍可能不连续。

求法

当函数 z=f(x，y) 在 (x0，y0)的两个偏导数 f'x(x0，y0) 与 f'y(x0，y0)都存在时，我们称 f(x，y) 在 (x0，y0)处可导。如果函数 f(x，y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x，y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x，y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x，y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

Answer 2

　　因为偏导存在只能保证在几个方向上，函数改变量与自变量改变量比的极限，在自变量趋近于0时存在，从而只能推出在这几个方向上自变量改变无穷小时，函数的改变量也无穷小，但是不能推出在任何方向上自变量改变无穷小时，函数的改变量也无穷小。所以即使所有偏导数都存在仍可能不连续。

Answer 3

因为偏导存在只能保证在几个方向上，函数改变量与自变量改变量比的极限，在自变量趋近于0时存在，从而只能推出在这几个方向上自变量改变无穷小时，函数的改变量也无穷小，但是不能推出在任何方向上自变量改变无穷小时，函数的改变量也无穷小。所以即使所有偏导数都存在仍可能不连续。