Question

{an}是等差数列,设fn(x)=a1x a2x^2 ... anx^n,n是正偶数,且已知fn(1)=n^2,fn(-1）=n

(1)求数列{an}的通项公式
(2)证明5/4<fn(1/2)<3(n>=3)

Answer 1

（1）由于fn(1)=a1+a2+a3+...+an = n^2, 又fn(-1)=-a1+a2-a3+.... +an = n, 两式相加，有2*(a2+a4+a6+...an) = n^2+n; 两式相减有2* (a1+a3+a5+... +a(n-1)) = n^2-n，由等差数列定义，a2=a1+d, a4=a3+d...，上面两式相减有2 * (d*n/2) = n^2+n-(n^2-n) = 2n, 有d=2.根据等差数列求和公式 a1+a2+... +an = [2*a1+d(n-1)]*n/2 = n^2，有a1=1.
既通项公式为an=a1+d(n-1)=1+2*(n-1)=2n-1

（2）fn(1/2)= 1/2 * 1 + 1/4 * 3 + 1/8 * 5 + ... + 1/(2^n) * (2n-1)
由于每项均为正，故n增大时fn(1/2)值必然增大，故fn(1/2)>= f3(1/2)= 15/8 > 5/4。
易知f5(1/2)=83/32. 而第7项 : 第6项 = (13/128) : (11/64) = 13/22. 且之后任意相邻两项之比均不大于13/22，并趋近于1/2.
故fn(1/2) = f5(1/2) + 11/64 + 13/128 + 15/256 + .... < f5(1/2) + 11/64 + 11/64*(13/22) + 11/64*[(13/22)^2] + ....
后面是一个无穷等比数列，Sn = (11/64 * 1) / [1- (13/22)] = 121/288.
于是fn(1/2) < f5(1/2) + 121/288 = 83/32 + 121/288 = 3.0138888... < 3.0139
但是在计算第8项的时候，本应为15/256，但是我们即为 11/64 * 13/22 * 13/22 = 169/2816，我们将差额予以扣除，得fn(1/2) < 2.9959, 证毕