Question

三个正数的算术几何平均不等式怎样证明

Answer 1

用凸函数的琴声不等式可以证明，也可以用因式分解来证明：

a^3+b^3 +c^3-3abc=（a+b+c）[Σ（cyc）（a-b）^2]/2
a，b，c＞0，那么（a+b+c）[Σ（cyc）（a-b）^2]/2 >=0
所以a^3+b^3 +c^3-3abc>=0
所以a^3+b^3 +c^3>=abc

Answer 2

设a、b、c≥0 a＝x³ b＝y³ c＝z³
∴x、y、z≥0
x²＋y²≥2xy y²＋z²≥2yz z²＋x²≥2zx 相加得x²＋y²＋z²≥xy＋yz＋zx
又x＋y＋z≥0 ∴x³＋y³＋z³－3xyz＝﹙x＋y＋z﹚﹙x²＋y²＋z²－xy－yz－zx﹚≥0
即x³＋y³＋z³≥3xyz ﹙ a＋b＋c﹚/3≥﹙abc﹚^﹙1/3﹚