求无穷级数sin1/n的敛散性
由于sin1/n~1/n，而级数1/n是发散的，根据比较判别法的极限形式知级数sin1/n也是发散的。
判别无穷级数的收敛性的方法：
首先可根据级数收敛的必要条件，级数收敛其一般项的极限必为零。反之，一般项的极限不为零级数必不收敛。
若一般项的极限为零，则继续观察级数一般项的特点：
若为正项级数，则可选择正项级数审敛法，如比较、比值、根值等审敛法。
若为交错级数，则可根据莱布尼茨定理。
另外，还可根据绝对收敛与条件收敛的关系判断。
扩展资料：
一个级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的。
绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有如下的性质：
如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数 ；如果把它的所有负项都改变符号，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数 ，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。
作为加法交换律的一个推广，对于正项级数，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质。
不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质：
如果两个任意项级数都绝对收敛，那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积。
由于sin1/n~1/n，而级数1/n是发散的，由比较判别法的极限形式知级数sin1/n也是发散的。
用泰勒级数展开：
sin(1/n*n)＝(1/n^2)-(1/3!)*(1/n^2)^3+(1/5!)*(1/n^2)^5-...
=(1/n^2)+o(1/n^2)
所以原级数的敛散性与1/n^2相同
由于1/n^2是收敛的，所以原级数也收敛。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
