若a,b,c为直角三角形三边,c为斜边,求证:a³+b³＜c³.
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若a,b,c为直角三角形三边,c为斜边,则
a²+b²=c²
设a边的对角是A，b边的对角是B，有
a=csinA，b=csinB，sin²A+sin²B=1
a³+b³=c³(sin³A+sin³B)
因为0<sinA<1，0<sinB<1
所以sin³A<sin²A，sin³B<sin²B
因为sin³A+sin³B<sin²A+sin²B=1
所以a³+b³＜c³(sin²A+sin²B)=c³
a²+b²=c²
设a边的对角是A，b边的对角是B，有
a=csinA，b=csinB，sin²A+sin²B=1
a³+b³=c³(sin³A+sin³B)
因为0<sinA<1，0<sinB<1
所以sin³A<sin²A，sin³B<sin²B
因为sin³A+sin³B<sin²A+sin²B=1
所以a³+b³＜c³(sin²A+sin²B)=c³
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