Question

若函数y=(sinx+a)(cosx+a)(A大于0)的最值

Answer 1

原式= sinxcosx+a(sinx+cosx)+a^2
令t=sinx+cosx (-√2 <t<√2)
则(t^2-1)/2=sinxcosx
所以原式= (t^2-1)/2+a*t+a^2
=(t^2)/2+a*t+a^2-1/2 ①
由二次函数最值公式
讨论a ①式的对称轴为 -a
若 0<a<√2
则 t=-a时取最小值 t=√2时取最大值
最小值=(a^2)/2-1/2
最大值=1/2+√2a+a^2
若 a>=√2
则 最小值=1/2-√2a+a^2
最大值=1/2+√2a+a^2

Answer 2

已知a≥0,求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大植,最小值

y = (sinx+a)(cosx+a)
　= sinxcosx + a(sinx+cosx) + a²
　= [(sinx+cosx)²-(sin²x+cos²x)]/2 + a(sinx+cosx) + a²
　= (1/2)(sinx+cosx)² + a(sinx+cosx) + (a²-1/2)
　= (1/2)(sinx+cosx+a)² + (a²-1)/2
　= [sin(x+π/4)+a/√2]² + (a²-1)/2

a≥√2时：最大值 = (1+a/√2)²+(a²-1)/2 = a²+√2a+1/2
　　　　　最小值 = (-1+a/√2)²+(a²-1)/2 = a²-√2a+1/2
a≤-√2时：最小值 = (1+a/√2)²+(a²-1)/2 = a²+√2a+1/2
　　　　　最大值 = (-1+a/√2)²+(a²-1)/2 = a²-√2a+1/2
-√2≤a≤√2时，最小值 = (a²-1)/2
　　　　　最大值 = a²+√2|a|+1/2

Answer 3

y=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a^2
令t=sinx+cosx=√2sin（x+π/4）所以-√2≤t≤√2 t^2=sinx^2+cosx^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
所以sinxcosx=（1-t^2）/2
所以f（t）=y=（1-t^2）/2 +at+a^2=-0.5t^2+at+a^2+0.5
二次函数开口向下，当t=a时有最值，接下来讨论a的取值范围
当0＜a≤√2 时，最大值是f（a），最小值为f（-√2 ）
当a＞√2 时，f（t） 在定义域内单调递增，最小值为f（-√2 ），最大值为f（√2 ）