Question

△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边为a，b，c，已知a^2=b(b+c),∠C为钝角，则a,2b,c的大小是

答案是a<2b<c
咋做？？

Answer 1

第一步：先证∠BAC=2∠ABC理由如下：
延长CA至D使得AD=AB,连结BD
∵a^2=b(b+c),即BC²=CA·CD
∴⊿CAB∽⊿CBD
∴∠ABC=∠D
∵AB=AD,∴∠ABD=∠D=∠ABC
∴∠CAB=∠ABD+∠D=2∠ABC
第二步 证结论：a<2b<c
在AB上截取点E使得CE=CA
∠CEA=∠CAB=∠ABC+∠BCE=2∠ABC
∴∠ABC=∠BCE
∴BE=CE=AC=b
∵BE+CE＞BC
∴2b＞a
设∠ABC=X,则∠ACB=180º-3X＞90º
∴X＜30º
∴∠ACE=180-4X＞60º
∠CAB=2X＜60º
∴∠ACE＞∠CAB
∴AE＞CE
∴AE+BE＞CE+BE即c＞2b
∴c>2b>a