Question

高三数学，立体几何题，高手进，谢

已知三棱锥A-BCD中,AB=2,AD=根号10,CD=根号5,BC=3,∠BAD=90°，则此三棱锥的外接球的表面积为？
麻烦详细一点

Answer 1

解题思路：
要求外接球体的面积
首先要找到球心和半径
球心和半径应该在已知要素上
首先我的感觉应该在Rt△DAB的斜边BD上

解：根据Rt△DAB边的关系知
BD=√14
又在△BCD中
BC^2+CD^2=BD^2
∴△BCD是直角三角形
我们知道直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半
∴该三棱锥外接球心在BD中点
长度=√14/2
∴该球面积=4π*14/4=14π

Answer 2

这样BD=根号14
根据勾股定理，角BAD和角BCD都=90度
所以外接球的球心在BD中点
r=2分之根号14
s=4πr^2=14π

追问

呃，也许我有点笨，不好意思，我想问一下
为什么知道角BAD和角BCD都=90度后，我就可以知道所以外接球的球心在BD中点？

追答

没事儿的\(^o^)/~
你想，如果球心在BD中点的话，那么刚好，这个点到其他所有顶点的距离都相等（可以通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明），而这个距离就是球的半径。

Answer 3

解：因为∠BAD=90°,AB=2,AD=AD=根号10,
根据勾股定理，得BD=根号内（AB²﹢AD²）=根号14
∴BC²+CD²=9+5=14=BD²
根据勾股定理的逆定理，得
∠BCD=90°
∴三棱锥A-BCD的外接球球心即是BD的中点，半径为（√14）／2
∴其表面积为S=4×π×R²=14π