Question

二阶线性递归数列A（n+2）=c1A（n+1）+c2An

若特征方程两根并非实根（即无实根），是否一定为周期数列？

Answer 1

不一定：
1.构造一个特征方程 x^2-2x+4=0 的两根 x1=1+√3i，x2=1-√3i，使
an=(1+√3i)^n+(1-√3i)^n=2^(n+1)*cos(nπ/3)
则an不是周期数列
2.构造一个特征方程 x^2-x+1=0 的两根 x1=（1+√3i)/2，x2=(1-√3i)/2，使
an=[(1+√3i)/2]^n+[(1-√3i)/2]^n=2cos(nπ/3)
则an是周期数列
3.周期数列的条件：c1,c2∈R，x1,x2互为共轭复数，|x1|=|x2|=1，x1的幅角为π的有理数倍。可以推导验证一下。

追问

那如果用不动点法做的题目,不动点方程无实根,是不是周期数列?

追答

对于二阶线性递归数列A（n+2）=c1A（n+1）+c2An，我们已经有非常完美结果：
特征方程x^2=c1x+c2 的两根为x1,x2且x1≠x2,则有
An=a*x1^n+b*x2^n
其中a,b 根据两个初始值可以解得。
因此在这种情况下一般采用特征方程的方法。
至于你所说的不动点的问题，你可以考虑构造一个满足条件（无实根）的递推数列，然后确定其中的一些待定系数，或找出需要的其它条件。