Question

将一把三角尺放在边长为一的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B.

1.另一边与射线DC相交与点Q时，线段PB与PQ之间又怎样的关系？试说明理由。
2.若另一条直角边与CD的延长线交与点Q时，上面还成立吗，为什么

Answer 1

（1）
过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形）
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ

Answer 2

过P作AD的平行线，交AB于X，交CD于Y，不难验证三角形PXB和QYP全等，所以PB=PQ。

当P在线段AC上时，另一条直角边不可能与CD延长线相交

追问

能写下具体过程吗，谢谢

追答

简单地说，就是ASA判定法。首先PXB和QYP都是直角三角形。然后角PBX和角QPY都与角XPB互余，所以也相等。最后，XB=AB-AX=AB-PX=XY-PX=YP

追问

角qpy为什么与xpb互余

追答

因为BPQ是直角（P是三角尺的直角顶点）