Question

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动

直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q，探究：设A，P两点间的距离为x。

1） 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论并加以证明。
2） 当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如不可能，试说明理由。

Answer 1

（1）
过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形）
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ

（2）
AC是正方形的对角线,∠ACD=45°,
∴∠PCQ=180-45=135°,
要使△PCQ为等腰△,则∠CQP=∠CPQ=45/2=22.5°
在直角△BPE和直角△QCE中,
∠BEP=∠CEQ,∴△BPE∽△QCE
∴∠PBE=∠CQE=22.5°
即,直角三角尺经过B点旋转的边与BC边成22.5°时,构成的△PCQ为等腰△.
∠ABP=90°-∠PBC=90-22.5=67.5°
∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=180-45-67.5=67.5°
∵∠APB=∠ABP=67.5°
∴△ABP为等腰△.
AP=AB=1,即L
当点P在线段上滑动到距A点的距离等于边长1时,三角形PCQ就能构成等腰三角形.