Question

数学高中：已知数列{an}满足an+1=(an²/4)+(3/4)，n∈N*，（II）若a1∈（0,1），求证：对任意n∈N*

已知数列{an}满足an+1=(an²/4)+(3/4)，n∈N*，
（II）若a1∈（0,1），求证：对任意n∈N*，都有an∈（0,1）；
（III）若a1∈（0,1），设数列{an²}的前n项和为Sn，求证：Sn＞n-4
求详解，要步骤。谢谢

Answer 1

（1）a1=1，an+1＝|an?4|+2(n∈N*)，
a2=4-a1+2=5，
a3=|a2-4|+2=3，
a4=|a3-4|+2=3，…，an=3，
∴Sn＝a1+a2+a3+…+an＝
1，n＝1
6，n＝2
6+3(n?2)，n≥3
＝
1，n＝1
3n，n≥2
．
（2）（i）当an＜4时，an+1=-an+6，
即an+1+an=6…①
当n=1时，a1+a2=6；当n≥2时，an+an-1=6…②
①-②得，n≥2时，an+1-an-1=0，即an+1=an-1
又{an}为等差数列，∴an＝3(n∈N*)，此时a1=3，
（ii）当an≥4时，an+1=an-2，即an+1-an=-2，即d=-2
若d=-2时，则an+1=an-2…③
将③代入an+1=|an-4|+2得an-4=|an-4|，∴an≥4对一切n∈N*都成立，
另一方面，an=a1-2（n-1），
an≥4当且仅当n≤
a1
2
?1时成立，矛盾，
∴d=-2不符合题意，舍去
综合①②知，要使数列{an}(n∈N*)成等差数列，则a1=3．