Question

已知f(x)=x+ b /x -3， x∈[1，2]．b≥2时fx的最大值为M最小值为m且满足M-m≥4求b的取值范围

主要是不明白为什么2≤b≤4时在[1,2]间能确定他的单调性 还有分成这几种情况的原因

Answer 1

f(x)=x+b/x-3 x∈[1,2] b≥2
f'(x)=1-b/x²
驻点x=√b
f''(x)=2b/x³>0 ,f(√b)是极小值。
∴1≤√b≤2→1≤b≤4→2≤b≤4时，区间包含驻点在内(驻点左侧单调递减，右侧单调递增)
最小值=f(√b)=2√b-3=m
f(1)=b-2,f(2)=b/2-1
f(1)-f(2)=b/2-1≥0
∴最大值=f(1)=b/2-1=M
∴b/2-1-2√b+3≥4→b-4√b-4≥0→√b≥2+2√2→b≥12+8√2>4,与假设不符
∴b>4，区间包含不包含驻点在内,f'(x)<0,f(x)单调递减（区间在驻点左侧）
∴最大值=f(1)=b-2=M,最小值=f(2)=b/2-1=m
b-2-b/2+1≥4
b≥10.

Answer 2

看单调性，这是个nike函数，（-00，根号b）单调减，【根号b，+00）单调增
1、当根号b大于1时，f（x）单调递增M=f（2），m=f（1）
2、当根号b小于2时，f（x）单调递增M=f（1），m=f（2）
3、当根号b属于【1，2】，先减后增，m=f（根号b），M=f（1）或f（2）具体看谁大