Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，2

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数“

（1）36是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？

Answer 1

(1)假设36为神秘数，连续两个偶数为2X，2X+2，则（2X+2）^2-(2X)^2=36
解得X=4,即两个连续偶数为8,10.代入验算,10^2-8^2=36,所以36为神秘数.
(2)(2K+2)^2-(2K)^2=8K+4=4(2K+1),所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
(3)设奇数为2K+1,2K+3,则,(2K+3)^2-(2K+1)^2=8(K+1)
假设8(K+1)为神秘数,则满足该数的两个连续偶数为2A,2A+2,即,(2A+2)^2-(2A)^2=8(K+1),解得,A=K+1/2,两个连续数为2K+1,2K+3,任为奇数,不符合,因此两个奇数的平方数不为神秘数.

Answer 2

1、是 36=10²-8²
2、（2k+2）²-（2k）²=4k²+8k+4-4k²=4（2k+1）
故必为4的倍数
3、设两个连续奇数分别为2n+1和2n-1
（2n+1）²-（2n-1）²=4n²+4n+1-（4n²-4n+1）=8n
这个跟你定义的“神秘数”条件都不一样呀，定义的是两个偶数，但是给的却是两个奇数

Answer 3

解：（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4×503=5042-5022，
所以是神秘数．

（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，
则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．