Question

已知函数f(x)=x^2+2xtanθ-1，x∈（-1，根号3]，其中θ∈（-π/2，π/2）

（1）当θ=-π/6时，求函数最大最小值。（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间[-1，根号3]上是单调函数。

Answer 1

(1)当θ=-Π/6时，tanθ=- √3/3, f(x)=x²- (2√3/3)x-1,二次函数对称轴为x=√3/3，在定义域 [-1,√3]中心的右边，所以最大值为f(-1)=1 2√3/3-1=2√3/3, 最小值为f(√3/3)=-1,

(2)f(x)=x² 2xtanθ-1对称轴为x=-tanθ,要在[-1,√3]上单调，那么对称轴必须在区间之外 ， -tanθ≥√3 或 -tanθ≤-1, 所以tanθ ≤ -√3或tanθ ≥ 1， 可知前者为-Π/2<θ≤-Π/3 ,后者为Π/4≤θ<Π/2, 所以θ∈(-π/2,-π/3]∪[π/4,

（1)，θ＝－π/6 时 tanθ＝－√3/3 ，f(x)=x² -2√3/3x-1, 函数顶点为（√3/3, －4/3） f(-1)=1 2√3/3-1=2√3/3 f(√3)=3-2√3/3*√3-1=0 ∴函数的最小值为－4/3,最大值为2√3/3 (2) 函数顶点横坐标为 －tanθ， 要满足在区间 [-1，根号3]上是单调函数， 须,,－tanθ＞√3, 或－tanθ＜－1 由 －tanθ＞√3 得tanθ<－√3 ∴－π/2＜θ＜ －π/3 由－tanθ＜－1 得 tanθ>1 ∴ π/4＜θ＜π/2 ∴ θ的范围是 ∴（－π/2，－π/3）∪（ π/4，π/2）

Answer 2

（1）带入tanθ 得到一个2元的方程 带入对称轴是最小值-4/3 带入-1是最大值（2根号3）/3
（2）（-π/2，-π/3]并[π/4，π/2）

Answer 3