Question

如何求零空间和像空间的基与维数

Answer 1

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n,则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底.矩阵的行秩等于列秩.
来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型,发现该矩阵的秩为3.那么,这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底,这个矩阵只有3个行向量,那这三个行向量就是基底.
然后看列空间,第一列与第四列明显线性无关.记这两条列向量为a1,a4,为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关,做出假设,a2与a1,a4线性相关,则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2.得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4,光看前两个式子就知道这样的x,y不存在.所以a1,a2,a4线性无关,所以a1,a2,a4就是列空间的基底.
这个方法是极为快速简洁的方法,总比换底公式快的多的多.
零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵
1 3 -2 1
0 -5 7 0
0 0 16 4
令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20
(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底.实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系