Question

一道几何证明题

蝴蝶定理的解析法证明

Answer 1

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

这里介绍一种较为简便的初等数学证法。
证明：过圆心O作AD与B牟垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
如图1，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）直线y=kx交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。

求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：

（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。

（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1

焦点坐标为

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
整理，得
(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
所以结论成立。

（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。

由C，P，H共线，得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4

解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)

由D，Q，G共线，同理可得

q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

3．简评

本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。

第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。

设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’

设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’

将①’两边同乘以k1·k2，即得

k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

4．赏析：

上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？

关于圆，有一个有趣的定理：

蝴蝶定理 设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。

这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。

盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？

像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？

[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。

5．启示

椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？

实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式

证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式

证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。
国际水平现在大大提高，我们的判断方式也有所改变，生活只要你留心观察，就会有很大的收获！