Question

设函数fx=-x^3+3x+2若不等式f(3+2sinα)＜m对任意α∈R成立则m的取值范围

Answer 1

楼上的思路渣激是对的。不过有点粗心。
两个点：1，正弦函数的取值范围，2，如孙袜函数的单调性。
解：f(x)=-x^3+3x+2
∵α∈R
∴1≤3+2sinα≤5
即x的凯悔取值范围为[1,5]
f(x)=-x^3+3x+2
导数f'(x)=-3x^2+3在[1,5]上恒小于零，即f(x)在x∈[1,5]单减
f(x)max=f(1)=4
则m＞4
m的取值为(4，+∞)。

Answer 2

对任意α∈R，有1<=3+2sinα<=5,所以本题转化为在[1,5] 上f(x)的最大值小于m,因为模毁返f(x)的导数余让为
-3x^2+3,可知其导数在[1,5]上,除x=1导数为0外,其余都小于0,所以f(x)=-x^3+3x+2在[1,5]为减函旦饥数,
所以f(x)=-x^3+3x+2在[1,5]上的最大值为f(1)=4,即m>4

Answer 3

f(3+2sinα)=-(3+2sinα)^3+3(3+2sinα)+2<m
找到f(3+2sinα)的最大值即可
假设y=3+2sinα
则f(3+2sinα)=f(y)=-y^3+3y+2
因为-1<=sinα<=1
1<=y<尺芹=5
在1到5之间，f(y)是递减的，所运芦以当y最小的时候f(y)最大，为4
所以4<m

是不能等于4的 因为陵悄毕f(3+2sinα)<m，而f(3+2sinα)可以等于4

Answer 4

f(x)=-x^3+3x+2=-x^3+3x+2+1-1=-(x+1)^2*(x-2)
将好滚3+2sinα代替X
得友宽余到
f(3+2sinα)=-2（1+2sina)^3
由于1+2sina∈[-1,3]
又由于f(3+2sinα)为减函数，
所以当1+2sina=-1时巧知为最大值，最大值为2
所以m为m>2

Answer 5

令x=3+2sinα∈（1，5）基颤键
f'洞配（x）=-3x^2+3在x∈（1，5）搏巧上恒小于零，即f(x)在x∈（1，5）单减
f(x)max=f(1)=4
则m》4

追问

不错，结果是≥4吧？

追答

是