Question

对于基本不等式，有调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，取等条件相同。那么不久又了矛盾?

当取等时，依照式子调和平均数≤几何平均数可知，此时几何平均数将取到最小值，而调和平均数将取到最大值。依照式子几何平均数≤算术平均数，且取等条件与前面相同，即此时算术平均数＝几何平均数=调和平均数。即几何平均数取到了最大值，而这个最大值于最小值相同。而我们知道，对于几何平均数Gn=(a1a2...an)^(1/n) 显然会有不同的值。
这不是很奇怪吗？
求解释。
hihi
题目中的“不久又”打错，改为：“不就有”,
满意我才收做满意答案，谢谢各位！

Answer 1

其实你在无意中偷换了一个概念。所谓的极值，是在一定条件限制之下取得的。所以对于“调和平均<=几何平均”的不等式，我们能够陈述的命题是：

1、当调和平均是定值时，几何平均在各个变量相等时取得最小值；

2、当几何平均是定值时，调和平均在各个变量相等时取得最大值。

也就是说，不等号的两边不能同时变动。对于“几何平均<=算术平均”也是一样。

那么，“几何平均取到最大值”，只能在算术平均是定值的前提下讨论，同样地，“几何平均取到最小值”，只能在调和平均是定值的前提下讨论。而算术平均和调和平均同时为定值的时候，一般是不能把各个变量调整到全部相等的位置上的，除非它们一开始就全相等。因此，不会出现“几何平均同时取得最大、最小值”的矛盾情况

Answer 2

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

追问

您是暗示什么呢？

追答

你理解有误，仔细理解 a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

追问

当a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时，不正是有调和平均数＝几何平均数＝算术平均数＝平方平均数，取等条件相同啊？正因为这个，一个不等式才即取得了最大值又取到最小值，很奇怪啊

Answer 3

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